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跳跃-扩散模型下的离散障碍期权定价分析

http://finance.591hx.com  2010年05月05日 16:42:46  华讯财经  我要推荐此文给好友
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摘要障碍期权是一种收益取决于其标的资产的价格在期权生命期内是否达到障碍价格,若在生命期内,标的资产的价格触及设定的障碍价格,期权立刻生效或失效。评价障碍期权的模型多数假设连续观察标的资产价格,然后现实中,许多障碍期权或者类似的合约都以在某些特定的时刻的标的资产价格为准,这样的障碍期权就是所谓的离散障碍期权。Broadie,M., P.Glasserman S.G.Kou1997)在假设标的资产价格遵循几何布朗运动的前提下,证明了可以用连续障碍期权的价格近似离散障碍期权的价格。本文则假设标的资产遵循跳跃-扩散模型,利用Siegmund(1985)的结论,证明离散障碍期权可以用连续障碍期权近似。

关键词:衍生品定价、跳跃-扩散模型、Black-Sholes模型、障碍期权

 

中图分类号:F224.0 数量经济学 文献标识码 A

 

I引言

障碍期权是一种收益取决于标的资产的价格是否达到某一个设定价格的奇异期权。它可分为敲出和敲入两种期权,前者在标的资产价格达到预先设定的价格时期权失效,而后者在标的资产达到一定水平时开始起作用,这个预先设定的价格水平就称为障碍价格。对障碍期权的定价模型一般假设连续的观测标的资产的价格,然而现实中的合约则规定观测某些时刻的标的资产价格,以此来判断该期权是生效还是失效,这称为离散的障碍期权。Broadie. M P. Glasserman S. G.Kou(1997)1】 的研究结果表明离散的障碍期权可以用连续的障碍期权定价公式近似,该模型是假设标的资产价格遵循几何布朗运动。本文假设标的资产的价格遵循带有固定跳跃的扩散运动,在此基础上给出离散障碍期权的近似定价。

常见的路径依赖期权如障碍期权、回望期权收益均倚赖标的资产在生命期内的价格极值,对于这样的金融衍生品,它们一个重要的特征是它们对于价格是连续观测还是离散观测。在连续价格下,利用传统的几何布朗运动模型,很容易得到这类衍生品的解析解;Davydov and Lineksy(2001)2】 在CEV Constant Elasticity of Variance Model )模型下用 Laplace transform 给出了连续障碍期权的定价公式;而 S.G.Kou(2003)3】 则在跳跃-扩散模型下给出了障碍期权的定价;但在一般情况下,这类衍生金融工具都约定以离散价格作为期权生效或者失效的标准。除了现实的执行因素外,还有一些法律和金融市场上的原因使得离散观测价格比连续观测价格更受欢迎。由于障碍期权定价的重要一点是观测价格是连续还是离散,多数模型假设观测的价格是连续的,比如给交易员发送命令,只要价格达到障碍水平就卖出或买入标的资产,主要是因为这样能够得到一个解析解。Merton(1973)5】,Heynen Kat(1994)6】都在经典布朗运动模型下得到了障碍期权的价格公式。然而,在现实中,一般障碍期权都设定固定的价格观测时间,也就是离散障碍期权。尽管这样的期权很重要,但是对它们的定价却不容易,因为一般情况下它们没有一个解析解,甚至利用数值方法对它们进行逼近也不容易。Chuang 认为可以用Siegmund 的改进扩散逼近来给障碍期权定价,Broadie 从理论和数值方法上证明了这个方法的可行性;Broadie 的结论是在假定标的资产遵循Black-Sholes模型下得到的,但标的资产遵循几何布朗运的假设存在“肥尾性”和“波动率微笑”特征。而跳跃-扩散模型能避免这个问题,即价格遵循Levy过程,跳跃用来描述突发事件对价格的影响,比如一个公司倒闭或者突发政治事件对标的资产价格的影响。

因此在本文里,建立了一个固定跳跃扩散模型,它具有如下性质:(1)、能对现实的现象如不对称丰度有较好的解释。(2)、在此模型下,能导出障碍期权价格的解析式(Kou,S and H.Wang(2004)4】,标的资产的价格对数假设遵循布朗运动和一个带固定跳跃的泊松分布的复合。并且以上升敲入看跌期权为例,利用它的解析式对离散障碍期权的价格作一个近似分析。

 

ⅴ结语

    由于障碍期权是早期推出的奇异期权之一,至今仍是受到市场的欢迎,由于加入障碍价格可以降低期权的成本,所以在现实中常用于外汇风险的控制,使得它成为规避风险的良好工具。因此考虑更符合实际的离散状态,本文建立跳跃扩散模型,并以上升敲入看跌期权为例,在此基础上证明了离散障碍期权的价格与连续障碍期权价格仅相差一个与观测次数有关的小量。并且利用数值方法模拟了离散与连续障碍期权的价格、相对误差和绝对误差。得到了良好的数值结果。

 

 

表一:不同障碍水平 下离散与连续障碍期权的误差

 

AE

RE

93

1.7631

1.7175

0.0456

2.59

94

1.3745

1.3688

0.0057

0.42

95

1.0600

1.0550

0.0050

0.47

96

0.8070

0.8040

0.0030

0.37

97

0.6059

0.6041

0.0018

0.30

98

0.4506

0.4500

0.0006

0.13

99

0.3290

0.3293

0.0010

0.09

100

0.2381

0.2391

0.0010

0.42

101

0.1700

0.1710

0.0009

0.59

102

0.1205

0.1222

0.0017

1.41

103

0.0840

0.0857

0.0016

2.02

104

0.0582

0.0589

0.0017

2.74

105

0.0396

0.0412

0.0016

4.03

 

 

 

 

表二:不同观测次数m时两种障碍期权的误差

 

m

H

AE

RE

 

 

50

93

1.7631

1.7175

0.0456

2.59

96

0.8070

0.8040

0.0030

0.37

99

0.3290

0.3293

0.0030

0.09

102

0.1205

0.1222

0.0017

1.41

105

0.0396

0.0412

0.0016

4.03

 

 

25

93

1.5948

1.5745

0.0202

1.27

96

0.7205

0.7054

0.0151

2.09

99

0.2902

0.2833

0.0690

2.38

102

0.1050

0.1028

0.0022

2.09

105

0.0355

0.0360

0.0005

1.41

 

 

5

93

0.8947

0.9526

0.0579

6.47

96

0.4015

0.3903

0.0112

2.79

99

0.1535

0.1430

0.0105

6.84

102

0.0511

0.04721

0.0039

7.61

105

0.0158

0.0145

0.0013

8.22

 

 

表三:不同标的 下两种障碍期权的误差

 

H

AE

RE

 

 

0.3

93

1.7631

1.7175

0.0456

2.59

96

0.8070

0.8040

0.0030

0.37

99

0.3290

0.3293

0.0030

0.09

102

0.1205

0.1222

0.0017

1.41

105

0.0396

0.0412

0.0016

4.03

 

 

0.45

93

3.3514

3.5510

0.1996

5.96

96

2.0351

2.0390

0.0039

0.20

99

1.1770

1.1807

0.0037

0.31

102

0.6481

0.6542

0.0061

0.94

105

0.3407

0.3457

0.0050

1.47

 

 

0.6

93

5.0300

5.3413

0.3113

6.18

96

3.5278

3.5125

0.0153

0.43

99

2.3950

2.4040

0.0090

0.38

102

1.5875

1.5950

0.0075

0.47

105

1.0275

1.0364

0.0089

0.87

 

 

表四:不同的 下两种障碍期权的误差

 

H

AE

RE

 

 

1

93

1.7631

1.7175

0.0456

2.59

96

0.8070

0.8040

0.0030

0.37

99

0.3290

0.3293

0.0030

0.09

102

0.1205

0.1222

0.0017

1.41

105

0.0396

0.0412

0.0016

4.03

 

 

2

93

1.9715

1.9121

0.0594

3.01

96

0.9490

0.9311

0.0179

1.88

99

0.4150

0.4078

0.0072

1.73

102

0.1653

0.1634

0.0019

1.15

105

0.0605

0.0607

0.0002

0.33

 

 

4

93

2.3430

2.2519

0.0911

3.88

96

1.2274

1.1786

0.0488

3.98

99

0.5931

0.5671

0.0260

4.38

102

0.2650

0.2537

0.0113

4.26

105

0.1101

0.1060

0.0041

3.72

 

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